로켓 추진의 물리학과 수학 |
 이미지 제공: Steve Bowers |
추진제 탱크가 비어 있는 질량 M을 기준으로 구한 ΔV는 로켓이 바꿀 수 있는 속도의 총량이다. 로켓이 모든 ΔV를 가속에 써 버리면 다시 감속할 추진제가 남지 않으며, 연소 종료 속도로 영원히 표류하게 된다. 보조 추진 형태가 없는 로켓은 임무를 위해 ΔV를 신중하게 배분해야 한다.
힘과 가속도
가해지는 힘은 운동량이 시간에 따라 변하는 비율이다. 로켓의 경우 이는
F = m' × Vex,
여기서 m'는 로켓이 추진제 질량을 잃는 비율이다. 예를 들어 m'는 초당 추진제 킬로그램으로 측정할 수 있다.
주어진 힘에서 로켓이 받는 가속도는 로켓의 질량에 반비례한다,
a = F/M.
로켓이 추진제를 소비하면서 질량이 변하기 때문에, 로켓은 임무 초반보다 종료 시점 근처에서 더 빠르게 가속할 수 있음을 주의해야 한다.
| 예를 들어, 초당 10킬로그램의 추진제를 배기 속도 5000 미터/초로 분사하는 로켓을 생각해 보자 (고성능 화학 연료 로켓의 전형적인 값). 이는 50,000 뉴턴의 힘을 낸다 (1 N = 1 kg/s × 1 m/s = 1 kg × 1 m/s2). 로켓의 질량이 10,000 kg이라면 5 m/s2로 가속되며, 이는 옛 지구 표면의 중력 가속도의 약 절반이다. |
출력
추진제를 움직이게 하려면 에너지가 필요하다. 속도 Vex로 움직이는 질량 m의 운동 에너지는 E = ½ m Vex2이다. 출력은 에너지를 얻거나 잃는 비율이므로, 질량 유량 m'와 배기 속도 Vex로 추진제를 분사하는 데 필요한 출력은
P = ½ m' Vex2.
힘 F = m' × Vex를 이 출력 관계식에 대입하여, 출력을 힘 및 배기 속도와 연결할 수 있다
P = ½ F Vex
또는 질량 유량
P = ½ F2/m'.
효율
이 모든 것은 로켓이 추진제를 정확히 뒤쪽으로 분사하고, 모든 출력이 추진제를 움직이는 데 사용되며 배기의 잔류 열이나 로켓의 폐열로 가지 않는다고 가정한다. 추진제의 일부가 옆으로 새면 추력을 충분히 얻지 못한다. 예를 들어 배기가 정확히 뒤쪽이 아니라 원뿔 형태로 분사되어 추진제 일부가 한쪽이나 다른 쪽으로 조금 움직이는 경우가 그렇다. 이것이 노즐 운동량 효율이다. 추진제 배기 흐름이 추진제 탱크에서 시작했을 때보다 더 뜨거운 상태로 로켓을 빠져나간다면, 더 많은 출력이 필요할 것이다. 이것이 노즐 에너지 효율이다. 잘 설계된 로켓의 경우, 이 효율들은 일반적으로 큰 영향을 주지 않는다. 예를 들어, 추진제를 길이의 1/10만큼의 폭을 가진 원뿔 형태로 뒤쪽으로 분사하는 로켓은 여전히 정확히 정확히 뒤쪽으로 분사할 때의 99.75%에 해당하는 추력을 낸다. 고체 노즐을 사용하는 로켓의 효율은 최대 70%이다. 자기 노즐은 열 플라즈마에서 최대 85% 효율을 낼 수 있고, 일부 비열 플라즈마에서는 그보다 더 높을 수 있다. 노즐 에너지 효율을 ζ로, 노즐 운동량 효율을 ξ로 표시하면
F = ξ m' Vex,
P = ½ m' Vex2 / ζ
P = ½ F Vex / (ζ ξ)
P = ½ F2/(ζ ξ2 m').
온도
종종 로켓은 추진제를 기체나 플라즈마가 될 때까지 가열한 다음, 뜨겁고 고압인 추진제가 로켓 뒤쪽으로 팽창하게 하여, 로켓을 앞으로 밀어낸다. 추진제가 팽창하면서, 대부분의 초기 열 에너지가 운동 에너지로 변환될 때까지 온도가 떨어진다. 추진제가 가열되는 온도와 주어진 추진제 입자의 질량을 알면, 배기 속도를 구할 수 있다.
켈빈 단위의 온도 T, 로켓의 효율 ζ, 그리고 배출된 추진제의 몰 질량 ρ (1 몰 안의 질량, 1 mole = 6.02×1023 입자)를 알면, 배기 속도는
Vex = √ 3 ζ R T / ρ
여기서 R은 기체 상수 R = 8.314 J/(mol K)이다. 원자 유형의 몰 질량은 원자량이라고 하며, 일반적으로 해당 원자나 동위원소의 설명에 나열된다. 주의해야 한다 - 위의 R 값은 ρ를 kg/mole로 측정한다고 가정하며, 몰 질량은 일반적으로 그램/몰로 주어지므로, 단위를 변환해야 한다.
종종 온도는 에너지 τ로 표현된다. 소비된 추진제의 단일 입자의 정지 질량을 에너지 ε로 표현하여 알고 있다면,
Vex = c × √ 3 ζ τ / ε ,
여기서 c는 진공에서의 빛의 속도, c = 299,792,458 m/s이다.
예를 들어, 정상 수소 원자 하나는 정지 질량으로 인해 938,791 keV의 에너지를 가진다. 핵융합 반응로가 수소를 50 keV의 온도로 가열하고, 수소 플라즈마가 90% 효율의 자기 노즐을 통해 분사되어 로켓 플룸을 형성한다면, 배기 속도는
c × √ 3 × 0.9 × 50 / 938,791 = 0.01199 c = 3,600,000 m/s이다.
매우 일반적으로, 로켓의 배기는 한 가지 이상의 입자로 구성된다. 이 경우, 기체 내 모든 입자의 가중 평균 질량을 사용하세요.
| 예를 들어, 핵융합 플라즈마는 입자당 2,809,440 keV 또는 0.003016029 kg/mole의 질량을 지닌 헬륨-3 80%와, 입자당 1,876,140 keV 또는 0.002014102 kg/mole의 질량을 지닌 중수소 20%로 구성될 수 있다. 그러면 입자당 유효 질량은 0.8 × 2,809,440 keV + 0.2 × 1,876,140 keV = 2,622,780 keV이고, 몰당 유효 질량은 0.8 × 0.003016029 kg + 0.2 × 0.002014102 kg = 0.002815644 kg이다. |
상대론적 로켓
앞의 설명은 배기 속도와 ΔV가 모두 진공에서의 빛의 속도보다 훨씬 작다고 가정한다. 이 가정이 성립하지 않을 때, 분석은 수정되어야 한다.
먼저 β = Vex/c 값을 계산한다. 로켓에 사용 가능한 신속도 η의 총 변화는
Δη = β ln(M0/M)이다.
속도와 달리, 상대론적 속도에서 신속도는 더해진다. 따라서 로켓은 Δη가 제공하는 임의의 신속도까지 가속할 수 있으며, 남은 Δη를 사용하여 감속하거나 방향을 바꿀 수 있다. 주어진 신속도에 대해, 속도는
V = c × tanh(η)
여기서 tanh는 쌍곡 탄젠트이다,
tanh(x)=[ex-e-x]/[ex+e-x]
그리고 로켓의 시간 팽창 계수는
γ = cosh(η)
여기서 cosh는 쌍곡 코사인이다
cosh(x)=[ex+e-x]/2.
배기의 입자의 총 에너지 E(정지 질량-에너지 포함)를 알고 있다면, 다음 값을 계산할 수 있다:
γex = E/ε
또는, 운동 에너지 EK를 알고 있다면,
γex = 1 + EK/ε
여기서, 이전과 같이, ε는 입자 하나의 정지 질량-에너지이다. γex를 알면 β를 구할 수 있다
| ____________ | |
| β = √ | 1 - 1/γex2 |
| 예를 들어, 양성자와 반양성자는 각각 938,280 keV의 정지 질량을 가진다. 이들이 서로 소멸하면 1,876,560 keV의 에너지를 생성한다. 이 소멸은 평균적으로 1.5개의 π+ 중간자, 1.5개의 π- 중간자, 2.0개의 π0 중간자를 만들어낸다. π+ 또는 π- 중간자의 정지 질량은 139,570 keV이고 π0의 정지 질량은 134,980 keV이다. 따라서 양성자-반양성자 소멸은 총 1.5 × 139,570 keV + 1.5 × 139,570 keV + 2.0 × 134,980 keV = 690,000 keV의 정지 질량을 만들어낸다. 그러므로, γex = 1,876,560 keV / 690,000 keV = 2.7. β는 다음과 같이 구할 수 있다, β = √ 1 - (1/2.7)² = 0.93. 실제로는 π+와 π-만 추력에 기여한다(π0는 즉시 자기적으로 편향시킬 수 없는 두 개의 감마선으로 붕괴한다). 이 때문에 사용 가능한 Δη는 (1.5 × 139,570 keV + 1.5 × 139,570 keV)/690,000 keV = 61%만큼으로 줄어든다. |